Równania różniczkowe 3.1.KRK.12TX.RoRo
Wykład z równań różniczkowych (r.r.)
Treści wykładu:
1. Liniowe układy r.r.:
własności funkcji wykładniczej dla macierzy,
zagadnienie Cauchego, macierzowe równania drugiego rzędu.
2. Przykłady zastosowania r.r. do modelowania zjawisk fizycznych.
3. Układy nieliniowe: twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności
rozwiązania zagadnienia Cauchego (bez dowodu).
4. Zagadnienie Keplera: rozwiązanie metodą Hamiltona (hodograf).
5. Jednowymiarowe równanie przewodnictwa ciepła:
wyprowadzenie, warunki początkowe i brzegowe, rozwiązanie metodą
Fouriera.
6. Równanie struny: wyprowadzenie, warunki początkowe i brzegowe.
7. Równanie struny: rozwiązanie metodą D'Alamberta i metodą Fouriera.
8. Równanie Laplace'a: funkcje harmoniczne i ich związek z
funkcjami analitycznymi. Rozwiązanie metodą Fouriera w kwadracie
i w dysku.
9. Równanie falowe w dwu wymiarach: rozwiązanie metodą Fouriera
w kwadracie.
Treści ćwiczeń:
1. Wektory i wartości własne macierzy.
Ortogonalność wektorów własnych dla macierzy
symetrycznych.
2. Niejodnorodne równanie drugiego rzędu (model drgań z wymuszaniem).
3. Poretrety fazowe dla układów liniowych na płaszczyźnie.
4. Równania różniczkowe opisujące rodziny krzywych na płaszczyźnie,
rodziny ortogonalne.
5. Ortogonalność w przestrzeniach funkcyjnych: iloczyn Hilberta, przykłady.
Szeregi Fouriera.
6. Funkcje własne dla operatora Laplace'a na odcinku z różnymi
warunkami brzegowymi.
Koordynatorzy przedmiotu
Efekty kształcenia
W teorii równań różniczkowych, zwyczajnych i cząstkowych,
znajduje zastosowanie wiedza matematyczna zdobyta przez
studentów w całym toku studiów, a szczególnie analiza matematyczna
i algebra liniowa.
Umiejętności oczekiwane:
1. Klasyfikacja portretów fazowych dla punktów równowagi.
2. Zrozumienie matematycznej teorii rezonansu .
3. Wartości własne macierzy i operatorów symetrycznych.
4. Szeregi Fouriera i ich zastosowanie do rozwiązywania
równań cząstkowych.
Kryteria oceniania
Prace domowe. Kolokwia. Egzamin końcowy.
Literatura
Arnold W.I. "Równania różniczkowe zwyczajne"
M. Gewert, Z. Skoczylas, "Równania różniczkowe zwyczajne"
H. Marcinkowska, "Wstęp do teorii równań różniczkowych cząstkowych"
PWN, 1986.
A. Palczewski, "Równania różniczkowe zwyczajne",WNT, Warszawa 2004,
Więcej informacji
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: