Teoria miary i całki 3.1.KRK.12TX.TMiC
σ-ciała zbiorów. Struktura zbiorów borelowskich. Twierdzenie Heine-Borela-Lebesque’a. • Miara. Miara probabilistyczna. Miara zewnętrzna. • Konstrukcja miary Lebesgue’a. • Aproksymacja zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a zbiorami domkniętymi i otwartymi. Przeliczalna addytywność miary. Ciągłość miary. • Funkcje mierzalne. Działania na funkcjach mierzalnych. Zbieżność funkcji mierzalnych. Twierdzenie Łuzina. Zbieżność prawie wszędzie i zbieżność według miary. • Całka funkcji nieujemnej. Przeliczalna addytywność. Całka sumy. Lemat Fatou. Twierdzenie Levi’ego o zbieżności monotonicznej. • Całka funkcji dowolnego znaku. Funkcje sumowalne. Przeliczalna addytywność i liniowość całki. • Bezwzględna ciągłość całki. Twierdzenie Lebesque’a. Twierdzenie o zbieżności zmajoryzowanej. • Związek całki Lebesque’a z całką Riemanna. Kryterium Lebesque’a całkowalności w sensie Riemanna. • σ-ciała produktowe. • Miary produktowe. Całka na produkcie. Twierdzenie Fubiniego. • Funkcje przeliczalnie addytywne. Bezwzględna ciągłość. Twierdzenie Radona-Nikodyma. • Przykłady zastosowań teorii miary i całki w zagadnieniach praktycznych i teoretycznych.
Rodzaj przedmiotu
Koordynatorzy przedmiotu
Efekty kształcenia
Wiedza:
Student posiada pogłębioną wiedzę z teorii miary i całki, zna jej główne twierdzenia oraz rozumie rolę i znaczenie charakterystycznych dla niej metod.
Umiejętności: student
-rozpoznaje obiekty o strukturze ciała i σ-ciała
-wyznacza (opisuje) σ-ciało generowane przez daną rodzinę zbiorów
-klasyfikuje zbiory borelowskie w przestrzeniach metrycznych
-rozpoznaje miary zewnętrzne, miary oraz funkcje przeliczalnie addytywne
-stawia i weryfikuje hipotezy dotyczące własności obiektów wymienionych wyżej
-wyznacza miary zbiorów dla zadanych miar i przestrzeni wykorzystując poznane twierdzenia
-rozpoznaje funkcje mierzalne i bada ich własności
-wyznacza całki funkcji odpowiednich klas (względem zadanych miar, w tym produktowych) różnymi metodami, także w kontekście przejść granicznych
Kompetencje społeczne: student
-zna ograniczenia własnej wiedzy i rozumie potrzebę dalszego kształcenia
-potrafi precyzyjnie formułować pytania, zarówno werbalnie w trakcie zajęć jak i na potrzeby agregatów wyszukujących i naukowych baz danych, służące pogłębieniu własnego zrozumienia danego tematu lub odnalezieniu brakujących elementów rozumowania
-potrafi formułować opinie na temat podstawowych zagadnień teorii miary i całki
Kryteria oceniania
Metody dydaktyczne:
• wykład / wykład problemowy / wykład z prezentacją multimedialną
• konwersatorium: dyskusja / rozwiązywanie zadań.
Forma i sposób zaliczenia oraz podst. kryteria oceny lub wymagania egzaminacyjne
Na ogólnych zasadach określonych w programie kształcenia, a w szczególności:
A. Sposób zaliczenia
• egzamin na ocenę (wykład=W)
• zaliczenie z oceną (konwersatorium=K)
B. Formy zaliczenia
• (W) egzamin pisemny/ustny
• (K) zaliczenie z oceną; ustalenie oceny zaliczeniowej na podstawie ocen cząstkowych otrzymywanych w trakcie trwania semestru za wystąpienia ustne i prace pisemne
C. Podstawowe kryteria
• (W) uzyskanie pozytywnej oceny;
• (L) uzyskanie pozytywnej oceny końcowej.
Literatura
A. Literatura wymagana
A.1. wykorzystywana podczas zajęć/ A.2. studiowana samodzielnie przez studenta
1. F.M. Filipczak, Teoria miary i całki, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, 1997.
2. S. Łojasiewicz, Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych, PWN, Warszawa 1973.
3. P. Bilingsley, Prawdopodobieństwo i miara, PWN, Warszawa 1987.
4. J.L. Doob, Measure Theory, Springer-Verlag, New York - Berlin 1994.
B. Literatura uzupełniająca
1. V. I. Bogachev, Measure theory, vol. I, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York 2007.
Więcej informacji
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: