Analiza zespolona 3.1.KRK.12TX.AZes
Treści programowe
A. Problematyka wykładu/ B. Problematyka konwersatorium
Płaszczyzna zespolona: zbiór liczb zespolonych, postać trygonometryczna liczb, ciągi i szeregi liczb zespolonych.
Pochodna zespolona: iloraz różnicowy zespolony, pochodna, reguły różniczkowania, oszacowanie przyrostu funkcji, warunki Cauchy-Riemanna, warunki konieczne i dostateczne.
Funkcje holomorficzne elementarne: pojęcie funkcji holomorficznej, szeregi potęgowe zmiennej zespolonej, funkcja wykładnicza, funkcje trygonometryczne, logarytm zespolony, pierwiastek zespolony, gałąź logarytmu, homografie i ich własności.
Całkowanie funkcji zespolonych: krzywe i łuki, konstrukcja i własności całki, oszacowanie całki, całkowanie ciągów i szeregów funkcyjnych, funkcje pierwotne, twierdzenie całkowe Cauchy’ego dla prostokąta, wzór całkowy Cauchy’ego dla obszarów jednospójnych i dla obszarów wielospójnych, pochodne funkcji holomorficznej, twierdzenie Liouville'a, zasadnicze twierdzenie algebry.
Osobliwości funkcji holomorficznych: rozwinięcie w szereg potęgowy, funkcje holomorficzne na pierścieniu: twierdzenie Laurenta, szeregi Laurenta, punkty osobliwe, bieguny, residuum funkcji w punkcie, twierdzenie o residuach.
Zastosowanie do obliczania całek: całki niewłaściwe oraz całki z funkcji trygonometrycznych.
Rodzaj przedmiotu
Wymagania
Koordynatorzy przedmiotu
Efekty kształcenia
Wiedza:
Student posiada pogłębioną wiedzę z analizy zespolonej, zna jej główne twierdzenia oraz rozumie rolę i znaczenie charakterystycznych dla niej rozumowań.
Umiejętności:
Student prezentuje i interpretuje różnice i podobieństwa między rożniczkowalnością rzeczywistą i zespoloną.
Student stosuje metody analizy zespolonej, w szczególności potrafi rozwijać funkcje w szereg i wykorzystywać residua do obliczania całek.
Kompetencje społeczne:
Student zna ograniczenia własnej wiedzy i rozumie potrzebę dalszego kształcenia;
potrafi precyzyjnie formułować pytania, zarówno werbalnie w trakcie zajęć jak i na potrzeby agregatów wyszukujących i naukowych baz danych, służące pogłębieniu własnego zrozumienia danego tematu lub odnalezieniu brakujących elementów rozumowania;
postępuje etycznie;
potrafi formułować opinie na temat podstawowych zagadnień analizy zespolonej
Kryteria oceniania
Metody dydaktyczne:
• wykład / wykład problemowy / wykład z prezentacją multimedialną
• konwersatorium: dyskusja / rozwiązywanie zadań.
Forma i sposób zaliczenia oraz podst. kryteria oceny lub wymagania egzaminacyjne
Na ogólnych zasadach określonych w programie kształcenia, a w szczególności:
A. Sposób zaliczenia
• egzamin na ocenę (wykład=W)
• zaliczenie z oceną (konwersatorium=K)
B. Formy zaliczenia
• (W) egzamin pisemny/ustny
• (K) zaliczenie z oceną; ustalenie oceny zaliczeniowej na podstawie ocen cząstkowych otrzymywanych w trakcie trwania semestru za wystąpienia ustne i prace pisemne
C. Podstawowe kryteria
• (W) uzyskanie pozytywnej oceny;
• (L) uzyskanie pozytywnej oceny końcowej.
Literatura
A. Literatura wymagana do ostatecznego zaliczenia zajęć (zdania egzaminu):
A.1. wykorzystywana podczas zajęć
1. A. Birkholc, Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych.
2. F. Leja, Funkcje zespolone.
A.2. studiowana samodzielnie przez studenta
1. J. Krzyż, J. Ławrynowicz, Elementy analizy zespolonej
2. W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona
B. Literatura uzupełniająca
Czasopisma matematyczne publikujące prace z zakresu analizy zespolonej
Więcej informacji
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: